مرز کارا و بهینه سازی وزن سبد | مدل مارکویتز در عمل

فرض کنید سه نماد دارید. هر تقسیم‌بندی ممکن بین آن‌ها — 50 و 30 و 20 درصد، یا 10 و 10 و 80 — یک سبد است، و هر سبد دو عدد دارد: بازدهی که از آن انتظار دارید، و نوسانی که برای رسیدن به آن تحمل می‌کنید. اگر همهٔ این ترکیب‌ها را روی یک نمودار بگذارید که محور افقی‌اش نوسان است و محور عمودی‌اش بازده، یک ابر نقطه می‌بینید.

نکتهٔ کل ماجرا این است که این ابر یک لبهٔ بالایی دارد. به ازای هر مقدار نوسان، یک ترکیب هست که بیشترین بازده ممکن را می‌دهد؛ بالاتر از آن هیچ ترکیبی وجود ندارد. به این لبه مرز کارا می‌گویند.

سبد فعلی شما تقریباً همیشه زیر این مرز است، و همین دو راه بهبود را نشان می‌دهد: با همان نوسان بازده بیشتری بگیرید، یا همان بازده را با نوسان کمتری بسازید. ابزار نمی‌گوید کدام‌یک را انتخاب کنید؛ می‌گوید هر کدام را بخواهید، وزن‌ها باید چه باشند.

چیزی که این را از یک توصیهٔ کلی جدا می‌کند، این است که محاسبه روی تاریخچهٔ واقعی خود نمادهای شما انجام می‌شود: اینکه قیمتشان در بازهٔ انتخابی چطور حرکت کرده، و مهم‌تر از آن، چقدر با هم حرکت کرده‌اند. دو نمادی که همیشه هم‌جهت بالا و پایین می‌روند، کنار هم ریسک را کم نمی‌کنند؛ دو نمادی که ناهماهنگ‌اند، می‌کنند.

به پرتفوی بروید و سبدی را انتخاب کنید که دست‌کم دو سهم یا صندوق دارد. تب بهینه‌سازی کنار بقیهٔ تب‌ها بالای صفحه است. اگر سبد خالی باشد این تب اصلاً نشان داده نمی‌شود.

بالای تب دو انتخاب هست که همه‌چیز از آن‌ها شروع می‌شود. اول بازهٔ تاریخچه — 3 ماه، 6 ماه، 1 سال یا 2 سال — که تعیین می‌کند نوسان و همبستگی‌ها از روی چند روز اندازه گرفته شوند. دوم هدف، که در بخش بعدی می‌آید.

بازه را سرسری انتخاب نکنید: بازهٔ کوتاه رفتار همین چند ماه را می‌سنجد و به یک فصل خوب یا بد حساس است؛ بازهٔ بلند آرام‌تر است ولی ممکن است شامل دوره‌ای باشد که دیگر شبیه امروزِ بازار نیست. کف سخت‌گیرانه‌ای هم هست: زیر 40 روز معاملاتی اصلاً محاسبه انجام نمی‌شود، چون یک ماتریس کامل از واریانس‌ها را نمی‌شود از ده روز خواند.

مدل می‌تواند نوسان و همبستگی را از تاریخچه اندازه بگیرد. دو چیز را نمی‌تواند، و هر دو در جدول قابل ویرایش‌اند.

اولی بازده مورد انتظار سالانه است. هیچ مدلی نمی‌داند یک نماد سال آینده چه می‌کند؛ این قضاوت شماست. ابزار یک پیش‌فرض می‌گذارد تا صفحه خالی نماند: رشد واقعی همان بازه که سالانه شده. ولی اگر آن عدد سر به فلک بکشد، پیش‌فرض تعدیل می‌شود و زیر همان سلول می‌نویسد «تعدیل‌شده از …» تا عدد اندازه‌گیری‌شده پنهان نماند.

چرا تعدیل؟ چون یک فصل خوب وقتی سالانه شود عددی می‌سازد که هیچ‌کس عمداً تایپش نمی‌کند، و آن عدد کل محاسبه را قبضه می‌کند. ولی خودِ همین تعدیل هم باید بالای رشد بازار بنشیند وگرنه به‌جای مهار کردن پرت‌ها، همه‌چیز را مهار می‌کند: شاخص کل در 1405/06 روی بازهٔ یک‌ساله سالانه‌شده 177٪ و روی شش‌ماهه 285٪ می‌شد. نکتهٔ مهم این است که عدد خودتان هرگز تعدیل نمی‌شود — تعدیل فقط روی پیش‌فرض است.

دومی کف و سقف وزن است. سقف یعنی «هرچه ریاضی بگوید، بیشتر از این درصد روی یک نماد نمی‌روم». گزینه‌های آماده 20٪، 30٪، 40٪ و بی‌سقف‌اند و عدد دلخواه هم می‌شود نوشت. این مهم‌ترین کنترل ایمنی تب است، مخصوصاً با هدف «بیشترین بازده» که بدون سقف همه‌چیز را در یک نماد می‌ریزد.

یک شرط ساده هم دارد که اگر رعایت نشود محاسبه انجام نمی‌شود: جمع سقف‌ها باید دست‌کم 100 درصد باشد و جمع کف‌ها حداکثر 100 درصد. اگر روی سه نماد سقف 20٪ بگذارید، بیشترین چیزی که می‌شود ساخت 60٪ سبد است و بقیه‌اش جایی ندارد.

هر سه هدف روی همان مرز کارا می‌نشینند؛ فقط نقطهٔ متفاوتی از آن را برمی‌دارند.

«بهترین نسبت شارپ» توضیح بیشتری می‌خواهد. نسبت شارپ یعنی بازده مازاد بر نرخ بدون ریسک تقسیم بر نوسان — همان شاخصی که در مقالهٔ شاخص‌ها تعریف شده. اگر از نقطهٔ نرخ بدون ریسک روی محور عمودی خطی به سمت مرز بکشید، جایی که این خط بر مرز مماس شود، پرشیب‌ترین خط ممکن است؛ یعنی بیشترین بازده اضافه به ازای هر واحد نوسان.

یک حالت مرزی هم هست که ابزار صریح اعلامش می‌کند: اگر هیچ ترکیب مجازی از نرخ بدون ریسک جلو نزند، شارپ دیگر معیار معناداری نیست. چون صورت کسر منفی می‌شود، هرچه نوسان بزرگ‌تر شود نسبت «بهتر» می‌شود — یعنی «بیشترین شارپ» عملاً می‌گوید «پرنوسان‌ترین سبد ممکن را بخرید»، دقیقاً برعکس چیزی که کسی از یک معیار ریسک‌تعدیل‌شده می‌خواهد. در این حالت ابزار به‌جایش کم‌نوسان‌ترین سبد را نشان می‌دهد و می‌گوید چرا.

جدول به ازای هر نماد هفت ستون دارد: نماد، ارزش روزش، وزن: فعلی ← پیشنهادی، بازده مورد انتظار سالانه، کف و سقف وزن، نوسان، بتا و اقدام پیشنهادی.

ستون آخر همان چیزی است که در عمل به کار می‌آید: می‌گوید برای رسیدن از وزن فعلی به وزن پیشنهادی باید خرید یا فروش کرد و چقدر. ستون بتا هم هم‌حرکتی هر نماد با شاخص کل است؛ اگر دادهٔ شاخص برای همهٔ روزهای بازه موجود نباشد، بتا اصلاً محاسبه نمی‌شود و ابزار همین را می‌نویسد. معنی دقیق بتا در مقالهٔ دلتای پرتفوی و بتا-وزنی آمده.

نمودار بالای جدول همان صفحهٔ نوسان-بازده است: منحنی مرز کارا، نقطهٔ سبد فعلی شما و نقطهٔ سبد پیشنهادی. فاصلهٔ عمودی و افقی این دو نقطه، تمام چیزی است که این تب ادعا می‌کند.

اگر نوسان و همبستگی‌ها را مستقیم از تاریخچه بردارید و به بهینه‌ساز بدهید، جواب تقریباً همیشه بی‌فایده است: با صد و اندی روز داده و ده‌دوازده نماد، ماتریس کوواریانس به تکینگی نزدیک می‌شود و بهینه‌سازی که ماتریس تکین بگیرد، همه‌چیز را در یک نماد می‌ریزد. بدتر اینکه با کمی عوض شدن بازه، آن یک نماد هم عوض می‌شود.

درمانش یک تخمین‌گر استاندارد است به نام لدویت-ولف: به‌جای اینکه همبستگی هر جفت نماد را عیناً باور کند، همه را به سمت میانگین مشترکشان می‌کشد. بازهٔ بلند و آرام کم کشیده می‌شود؛ بازهٔ کوتاه و پرنوسان زیاد.

دو قید دیگر هم عمدی‌اند. اول اینکه فروش استقراضی وجود ندارد: وزن منفی در بورس تهران سبدی نیست که کسی بتواند نگهش دارد، پس همهٔ وزن‌ها بین کف و سقف خودشان و مثبت می‌مانند. دوم اینکه اگر تعداد نمادهای سبد از 30 بگذرد، محاسبه روی بزرگ‌ترین دارایی‌ها انجام می‌شود و همین بالای جدول نوشته می‌شود — چون ماتریس کوواریانسِ بزرگ‌تر از آن، تاریخچه‌ای می‌خواهد که بازار ندارد.

یک هشدار صادقانه هم هست که ممکن است ببینید: وقتی تعداد روزهای داده نسبت به تعداد نمادها کم باشد، بخش عمدهٔ کار را همان کشش انجام می‌دهد نه دادهٔ واقعی، و ابزار این را پنهان نمی‌کند.

وزن‌ها فقط بین سهم و صندوق تقسیم می‌شوند. این یعنی درصدهایی که می‌بینید سهمی از بخش سهم و صندوقِ سبدند، نه از کل آن.

کنار گذاشتن اختیارها یک ساده‌سازی نیست، یک تصمیم است: میانگین-واریانس فرض می‌کند بازده‌ها توزیع تقریباً نرمال دارند و دارایی تاریخ انقضا ندارد. هیچ‌کدام دربارهٔ قرارداد اختیار معامله درست نیست، و مدلی که به زور روی آن اجرا شود وزن‌هایی می‌دهد با تعداد اعشار درست و معنای صفر. جایی که اختیارهای سبد واقعاً سنجیده می‌شوند تب اکسپوژر است — دلتا، گاما، تتا و وگای خالص سبد — که در راهنمای پرتفوی توضیح داده شده.

هر بار که محاسبه انجام نمی‌شود، ابزار به‌جای یک صفحهٔ خالی می‌گوید چرا. چهار حالت رایج:

خروجی این تب یک سناریو است، نه یک توصیه — و دقیقاً به همان اندازه معتبر است که عددهای ستون «بازده مورد انتظار سالانه»، که خودتان نوشته‌اید. چند محدودیت که بهتر است قبل از عمل کردن به جواب بدانید:

• گذشته آینده نیست. نوسان و همبستگی از تاریخچه اندازه گرفته می‌شوند و هر دو عوض می‌شوند — معمولاً هم درست وقتی که بیشتر به ثباتشان نیاز دارید.
• نوسان تنها تعریف ریسک نیست. این مدل بالا رفتن و پایین رفتن قیمت را به یک چشم می‌بیند. اگر ریسک برای شما یعنی «چقدر ممکن است از دست بدهم»، معیارهای دیگری مثل ارزش در معرض ریسک و نسبت سورتینو در مقالهٔ شاخص‌ها هستند.
• هزینهٔ جابه‌جایی در مدل نیست. رسیدن به وزن‌های پیشنهادی یعنی خرید و فروش، و آن کارمزد و اثر قیمتی دارد. جابه‌جایی چند درصدی معمولاً ارزشش را ندارد.
• نقدشوندگی دیده نمی‌شود. مدل نمی‌داند نمادی که وزنش را بالا برده به آن راحتی خرید و فروش نمی‌شود.
• اندازهٔ کل سرمایه جای دیگری تصمیم گرفته می‌شود. این تب دربارهٔ تقسیم پولی است که الان در سبد است؛ اینکه اصلاً چقدر پول وارد یک موقعیت شود موضوع مدیریت سرمایه است.

مرز کارا لبهٔ بالایی همهٔ ترکیب‌های ممکن از نمادهای شماست، و تب بهینه‌سازی در پرتفوی آپشن باز همان را روی تاریخچهٔ واقعی سبد خودتان می‌کشد. شما دو چیز را می‌دهید که هیچ مدلی نمی‌داند — بازده مورد انتظار هر نماد و سقفی که حاضرید رویش بروید — و ابزار می‌گوید با همان پول، کدام تقسیم‌بندی به هدفی که انتخاب کرده‌اید نزدیک‌تر است.

بیشترین ارزشش هم معمولاً در خودِ عددها نیست، در فاصلهٔ دو نقطه روی نمودار است: اینکه ببینید سبد فعلی‌تان چقدر از مرز فاصله دارد. اگر فاصله کم بود، کار درستی کرده‌اید و لازم نیست چیزی عوض شود. برای دیدن اینکه این تصمیم‌ها در عمل چه نتیجه‌ای داده‌اند، ژورنال معاملاتی همان دفتر را از سمت مرور نگاه می‌کند.