مدل هستون (ویکی‌پدیا) | فرمول، پارامترها و کالیبراسیون

مدل فرض می‌کند قیمت دارایی (S_t) از این فرایند تصادفی پیروی می‌کند:

dS_t = μ S_t dt + √ν_t S_t dW_t^S

و خودِ واریانس ν_t از یک فرایند ریشهٔ مربعی فلر (یا فرایند CIR) می‌آید:

dν_t = κ (θ − ν_t) dt + ξ √ν_t dW_t^ν

که (W^S) و (W^ν) دو فرایند وینر (گشت تصادفی پیوسته) با همبستگی ρ هستند. ν_t مربع نوسان است و به آن واریانس لحظه‌ای می‌گویند.

• ν₀ (v₀) — واریانس اولیه
• θ — واریانس بلندمدت؛ وقتی زمان زیاد شود، امید ریاضی ν_t به θ میل می‌کند
• ρ — همبستگی دو فرایند وینر (قیمت و واریانس)
• κ — سرعت بازگشت ν_t به θ
• ξ — نوسانِ نوسان (vol of vol)؛ شدت نوسان خودِ واریانس

اگر پارامترها شرط فلر را برآورده کنند، فرایند ν_t اکیداً مثبت می‌ماند:

2 κ θ > ξ²

در عمل کالیبراسیون بازار گاهی این شرط را نقض می‌کند؛ پیاده‌سازی‌های عددی باید مراقب پایداری باشند.

برای قیمت‌گذاری مشتقه، امید ریاضی بازده تنزیل‌شده را زیر یک اندازهٔ ریسک‌خنثی (هم‌ارز مارتینگل) حساب می‌کنند؛ در آن اندازه، قیمت تنزیل‌شدهٔ دارایی‌های پایه مارتینگل است.

• در بلک‌شولز یک دارایی و یک نویز وینر داریم → معمولاً یک اندازهٔ ریسک‌خنثی یکتا.
• در هستون هنوز یک دارایی قابل‌معامله داریم، ولی دو نویز وینر (قیمت و واریانس). نوسان مستقیماً قابل معامله فرض نمی‌شود → فضای اندازه‌های ریسک‌خنثی یک‌بعدی می‌ماند و اندازه یکتا نیست.

این مشکل‌ساز است چون اندازه‌های مختلف ممکن است قیمت‌های مختلف بدهند. در عمل با برازش به قیمت اختیارهای وابسته به نوسان (مثل call اروپایی یا سواپ واریانس) یک اندازهٔ سازگار با بازار انتخاب می‌شود — همان کاری که کالیبراسیون انجام می‌دهد.

• استفاده از تبدیل فوریه برای قیمت‌گذاری اختیار (کار و مادان)
• نکات پیاده‌سازی عددی و لگاریتم مختلط (کال و جکل)
• گسترش‌ها: هستون وابسته به زمان، هستون دو‌عاملی، نرخ بهره تصادفی، نوسان محلی–تصادفی
• توابع مشخصهٔ پایدارتر برای کالیبراسیون و مشتق‌گیری نسبت به پارامترها
• پارامترسازی سطح نوسان مرتبط با هستون (مثل SVI)

در آپشن‌باز قیمت اروپایی از فرم پایدار تابع مشخصه و انتگرال عددی می‌آید؛ جزئیات کاربردی در راهنمای هستون.

کالیبراسیون معمولاً یک مسئلهٔ کمینه‌سازی مربعات است: فاصلهٔ قیمت مدل با قیمت اختیارهای وانیلای بازار. گاهی ساختار زمانی سواپ واریانس یا اختیارهای forward-start / barrier هم وارد می‌شود تا لبخند رو به جلو گرفته شود.

قیمت وانیلا در هستون «نیمه‌تحلیلی» است ولی نیاز به انتگرال عددی دارد. برای گرادیان پارامترها می‌توان تفاضل محدود، گرادیان تحلیلی، یا مشتق‌گیری خودکار به کار برد.

در آپشن‌باز پارامترها از قیمت‌های معتبر زنجیرهٔ همان نماد پایه برازش می‌شوند؛ اگر برازش ضعیف باشد عدد نشان داده نمی‌شود (جزئیات).

• دیده‌بان — ستون هستون و درصد اختلاف با پرمیوم
• میزکار — باکس لبخند نوسان
• ماشین حساب — تب هستون
• نواقص بلک‌شولز — چرا مدل بعدی لازم شد