در مالیه، مدل هستون (به نام استیون ال. هستون) مدلی ریاضی برای تحول نوسان یک دارایی پایه است. این یک مدل نوسان تصادفی است: فرض میکند نوسان نه ثابت است و نه قطعی، بلکه خودش یک فرایند تصادفی را دنبال میکند.
راهنمای کاربردی در آپشنباز: مدل هستون و لبخند نوسان — ستون هستون در دیده‌بان، باکس لبخند در میزکار و تب هستون در ماشین حساب.
فرمول‌بندی ریاضی
مدل فرض میکند قیمت دارایی (S_t) از این فرایند تصادفی پیروی میکند:
dSt = μ St dt + √νt St dWtS
و خودِ واریانس νt از یک فرایند ریشهٔ مربعی فلر (یا فرایند CIR) می‌آید:
dνt = κ (θ − νt) dt + ξ √νt dWtν
که (W^S) و (W^ν) دو فرایند وینر (گشت تصادفی پیوسته) با همبستگی ρ هستند. νt مربع نوسان است و به آن واریانس لحظه‌ای می‌گویند.
پنج پارامتر
- ν₀ (v₀) — واریانس اولیه
- θ — واریانس بلندمدت؛ وقتی زمان زیاد شود، امید ریاضی νt به θ میل میکند
- ρ — همبستگی دو فرایند وینر (قیمت و واریانس)
- κ — سرعت بازگشت νt به θ
- ξ — نوسانِ نوسان (vol of vol)؛ شدت نوسان خودِ واریانس
| پارامتر | در پنل «مدل هستون» | اگر عدد… |
|---|---|---|
| √v₀ | نوسان فعلی | بالا باشد → بازار همین حالا پرتلاطم دیده میشود |
| √θ | نوسان بلندمدت | بالاتر از فعلی → مدل انتظار آرام‌شدن ندارد، برعکس انتظار تنش بیشتر |
| κ | نیم‌عمر بازگشت (روز) | نیم‌عمر کوتاه → سریع به سطح بلندمدت برمی‌گردد |
| ρ | همبستگی + برچسب چولگی | منفی → چولگی نزولی (رایج در سهام) |
| ξ | نوسانِ نوسان | بزرگ‌تر → لبخند خمیده‌تر و دم‌های چاق‌تر |
شرط فلر
اگر پارامترها شرط فلر را برآورده کنند، فرایند νt اکیداً مثبت میماند:
2 κ θ > ξ²
در عمل کالیبراسیون بازار گاهی این شرط را نقض میکند؛ پیاده‌سازی‌های عددی باید مراقب پایداری باشند.
اندازهٔ ریسک‌خنثی
برای قیمت‌گذاری مشتقه، امید ریاضی بازده تنزیل‌شده را زیر یک اندازهٔ ریسک‌خنثی (هم‌ارز مارتینگل) حساب می‌کنند؛ در آن اندازه، قیمت تنزیل‌شدهٔ دارایی‌های پایه مارتینگل است.
- در بلک‌شولز یک دارایی و یک نویز وینر داریم → معمولاً یک اندازهٔ ریسک‌خنثی یکتا.
- در هستون هنوز یک دارایی قابل‌معامله داریم، ولی دو نویز وینر (قیمت و واریانس). نوسان مستقیماً قابل معامله فرض نمی‌شود → فضای اندازه‌های ریسک‌خنثی یک‌بعدی میماند و اندازه یکتا نیست.
این مشکل‌ساز است چون اندازه‌های مختلف ممکن است قیمتهای مختلف بدهند. در عمل با برازش به قیمت اختیارهای وابسته به نوسان (مثل call اروپایی یا سواپ واریانس) یک اندازهٔ سازگار با بازار انتخاب میشود — همان کاری که کالیبراسیون انجام میدهد.
پیاده‌سازی
- استفاده از تبدیل فوریه برای قیمت‌گذاری اختیار (کار و مادان)
- نکات پیاده‌سازی عددی و لگاریتم مختلط (کال و جکل)
- گسترش‌ها: هستون وابسته به زمان، هستون دو‌عاملی، نرخ بهره تصادفی، نوسان محلی–تصادفی
- توابع مشخصهٔ پایدارتر برای کالیبراسیون و مشتق‌گیری نسبت به پارامترها
- پارامترسازی سطح نوسان مرتبط با هستون (مثل SVI)
در آپشنباز قیمت اروپایی از فرم پایدار تابع مشخصه و انتگرال عددی می‌آید؛ جزئیات کاربردی در راهنمای هستون.
کالیبراسیون
کالیبراسیون معمولاً یک مسئلهٔ کمینه‌سازی مربعات است: فاصلهٔ قیمت مدل با قیمت اختیارهای وانیلای بازار. گاهی ساختار زمانی سواپ واریانس یا اختیارهای forward-start / barrier هم وارد میشود تا لبخند رو به جلو گرفته شود.
قیمت وانیلا در هستون «نیمه‌تحلیلی» است ولی نیاز به انتگرال عددی دارد. برای گرادیان پارامترها می‌توان تفاضل محدود، گرادیان تحلیلی، یا مشتق‌گیری خودکار به کار برد.
در آپشنباز پارامترها از قیمتهای معتبر زنجیرهٔ همان نماد پایه برازش میشوند؛ اگر برازش ضعیف باشد عدد نشان داده نمی‌شود (جزئیات).
در آپشنباز
- دیده‌بان — ستون هستون و درصد اختلاف با پرمیوم
- میزکار — باکس لبخند نوسان
- ماشین حساب — تب هستون
- نواقص بلک‌شولز — چرا مدل بعدی لازم شد
صفحهٔ ویکی‌پدیا اسکلت ریاضی و مفهومی مدل را میدهد؛ در آپشنباز همان اسکلت به صورت عدد زنده روی جدول و نمودار درمی‌آید. قهرمان تصمیم شما هستید: مدل عینک است، نه دستور معامله.
منبع
ترجمه و بازنویسی آموزشی بر پایهٔ مقالهٔ انگلیسی ویکی‌پدیا:
https://en.wikipedia.org/wiki/Heston_model (مجوز Creative Commons Attribution-ShareAlike)
ارجاع اصلی مدل: Steven L. Heston (1993)، Review of Financial Studies.